直線與面相交怎么表示 點與直線關系圖解
時間：2025-06-16
直線與平面相交時，其交線為一個點，稱為交點。表示直線與平面相交的方法有兩種：
1. 參數(shù)方程法
設直線的方向向量為 v，過直線上一點 P0，則直線可表示為：
r = P0 + tv, t ∈ R
其中，r 為直線上的任意一點，t 為參數(shù)。
設平面方程為 Ax + By + Cz + D = 0，將直線參數(shù)方程代入，得到：
At(x0 + vt) + Bt(y0 + wt) + Ct(z0 + ut) + D = 0
聯(lián)立參數(shù)方程和平面方程，即可解出交點 r0 的坐標。
2. 點法式
設平面通過點 P0，法向量為 n，則平面方程可表示為：
(r P0) · n = 0
其中，r 為平面上的任意一點。
將直線參數(shù)方程代入，得到：
(P0 + t v P0) · n = 0
整理得：
v · n = 0
若 v 與 n 正交，則直線與平面相交于一點。否則，直線與平面不交或相交于整條直線。
案例
已知直線 r = (1, 2, 3) + t(2, 1, 1) 和平面 2x + y z + 5 = 0，求其交點。
使用參數(shù)方程法：
2(1 + 2t) + (2 + t) (3 t) + 5 = 0
6t + 9 = 0
t = 3/2
代入直線參數(shù)方程，得交點 r0 = (1 6, 2 3/2, 3 + 3/2) = (5, 1/2, 9/2)。
已知直線 r = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1) 和平面 x + 2z = 0，求其相交關系。
使用點法式：
v = (2, 0, 1)
n = (1, 0, 2)
v · n = 2 ≠ 0
因此，直線與平面相交于一點。